Правила уравнений умножения и деления.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

Все действия выполняются слева направо.
В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 - 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

действия выполняются по порядку слева направо,
причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Пример.

Выполните действия 7−3+6 .

Решение.

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Ответ:

7−3+6=10 .

Пример.

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

Ответ:

Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Пример.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 - значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Ответ:

17−5·6:3−2+4:2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание - следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Определение.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Пример.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Решение.

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Ответ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Пример.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Ответ:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].

Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей

Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».

Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.

Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.

Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».

Решение уравнений на сложение и вычитание

Как найти неизвестное
слагаемое

Как найти неизвестное
уменьшаемое

Как найти неизвестное
вычитаемое

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка

Решение уравнений на умножение и деление

Как найти неизвестный
множитель

Как найти неизвестное
делимое

Как найти неизвестный
делитель

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка

y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка

Уравнение - это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения - это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:

Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:

Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».

Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.

Порядок решения линейных уравнений

Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).

Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа - в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,

Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .

Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),

Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не равно 0, значит x - 3 = 0

У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:

Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:

Найти общий знаменатель;

Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);

Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые - в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;

Привести подобные члены;

Основные свойства уравнений

В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Уравнения на умножение

1) Формировать умение строить алгоритм на примере построения алгоритма решения простых уравнений на умножение, формировать умение использовать построенный алгоритм при решении уравнения.

2) Тренировать вычислительный навык, решать текстовые задачи.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, синтез, сравнение, аналогия.

1 этап. Мотивация к учебной деятельности

1) мотивировать учащихся к учебной деятельности,

2) определить содержательные рамки урока.

Организация учебного процесса на этапе 1:

— Какую тему мы сейчас изучаем на уроках математики? (Умножение и деление)

— В каких заданиях применяем эти действия? (В решении примеров, задач)

— Хотите узнать, какие еще есть задания, в которых мы можем использовать эти действия? (Да)

Ребята, посмотрите, кто сегодня пришел к нам на урок? Вы их узнали? Что вы знаете об этих героях? (…)

(Появляются знаки вопроса). Что происходит? Колобки озадачены и расстроены. Они хотели выполнить задание, а у них впервые не получилось. Они не знают, как открывать новые знания. Поможем? (…)

А можно ли приниматься за работу с таким настроением, как у колобков? (Нельзя, не будет результата)

Давайте улыбнемся друг другу и пожелаем удачи! Ну что же, будем действовать по плану открытия нового знания. Вам он хорошо знаком.

2 этап. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии

1) актуализация изученных способов действий, достаточных для построения, их вербальная и знаковая фиксация и обобщение;

2) актуализация мыслительных и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;

3) мотивация к пробному учебному действию и его самостоятельному осуществлению;

4) фиксация учащимися индивидуальных затруднений в выполнении пробного учебного действия или его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1) Актуализация формул нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника.

С чего начнем? (С повторения). Мы должны повторить все, что знаем? (Нет, только то, что нам пригодится для открытия нового знания)

— Что нужно найти в этом задании? (Площадь прямоугольника)

— Как найти площадь прямоугольника? (Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину)

Появляется формула площади.

Учащиеся выполняют задание.

— Чему равна площадь? (18 кв. м)

— Кто получил другой ответ?

— В чем ваша ошибка?

— Как найти неизвестную сторону прямоугольника? (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)

— Появляется формула нахождения неизвестной стороны прямоугольника.

— Составьте обратную задачу, в которой нужно найти длину прямоугольника (…)

— Запишем решение обратной задачи.

Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:3=6(м) – длина

— Теперь составьте другую обратную задачу.

Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:6=3 (м) – ширина

У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).

2) Актуализация алгоритма решения уравнений на сложение и вычитание.

— Запишите: сумма Х + 5 равна 7. Как можно назвать эту запись? (Уравнение)

— Что такое уравнение? (Равенство, в котором есть неизвестное число, называют уравнением)

— Что поможет нам решить это уравнение? (Эталон решения уравнений на сложение)

Один ученик у доски с комментированием. (Обозначу компоненты уравнения, подчеркну части, целое (сумму) обведу. Вижу, что неизвестна часть. Чтобы найти неизвестную часть, надо из суммы вычесть известную часть.

— Почему мы повторили именно это? (Это пригодится нам для открытия нового знания)

— Какой следующий шаг? (Пробное действие) Для чего оно нужно? (Чтобы понять, чего мы не знаем)

Учитель раздает учащимся карточки с заданием для пробного действия:

— Какое задание нужно выполнить? (Решить уравнение)

— С каким действием? (С умножением)

— А что нового в этом задании? (Мы не решали уравнения на умножение)

Попробуйте выполнить это задание. (30 сек.)

— Кто не выполнил задание?

Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли решить уравнение)

— Кто нашел корень уравнения? Какие результаты у вас получились?

Учитель фиксирует результаты на доске рядом с пробным действием

— Обоснуйте свое мнение.

Что вы не можете сделать? (Мы не можем обосновать свой ответ.)

У вас возникло. (затруднение). Поставим… (знак вопроса) рядом с пробным действием на маршрутном листе.

— Какой следующий шаг на уроке? (Разобраться, в чем у нас затруднение)

— А раз возникло затруднение, надо…(Остановиться и подумать)

3 этап. Выявление места и причины затруднения

1) восстановить выполненные операции и зафиксировать место затруднения;

2) соотнести свои действия с используемым способом действий и на этой основе выявить и зафиксировать во внешней речи причину затруднения.

Организация учебного процесса на этапе 3:

— Какое задание вы должны были выполнить? (Мы должны были решить уравнение на умножение)

— Как рассуждали, выполняя пробное действие? (Пытались воспользоваться известным алгоритмом решения уравнений …)

— В чем затруднение? (Алгоритм не подходит)

Почему же возникло затруднение? (У нас нет способа для решения уравнений на умножение)

Вы поняли, чего вы не знаете? (Да). Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с третьим шагом.

4 этап. Построение проекта выхода из затруднения

1) согласовать и зафиксировать цель и тему урока;

2) построить план и определить средства достижения цели.

Организация учебного процесса на этапе 4:

— Мы поняли, чего мы не знаем, теперь можем… (Сами открывать способ)

Сначала нужно поставить цель. Если вы не знаете способа решения уравнений на умножение, значит, ваша цель… (Открыть способ решения таких уравнений)

— Сформулируйте тему нашего урока (…)

Написать тему на доске:

— Будем действовать, как настоящие сыщики. Составим план действий. Слайд

— Давайте подумаем, что нам может помочь. Вспомните, вы повторили в самом начале урока. (Алгоритм решения уравнений на сложение, формулу нахождения площади)

— Какая формула может нам помочь? (Формула нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника)

— Пробуем применить формулу площади прямоугольника.

— Предлагаю воспользоваться известным вам алгоритмом решения уравнений на сложение.

Алгоритм.

Выделяю целое и части.
Что неизвестно?
Применяю правило.
Нахожу неизвестное х.
Что в этом алгоритме вам явно не подходит? (1 пункт)
Когда у вас были уравнения на сложение, вы их компоненты соотносили с частями и целым, используя отрезки. А с чем вы соотносили компоненты умножения? (С площадью)
Что будете использовать вместо отрезка? (Моделью прямоугольника)

Заменим п.1 на Обозначим компоненты уравнения на модели прямоугольника.

— Остальные пункты алгоритма вам подходят?

— Используя этот алгоритм, можно попробовать решить уравнение?

— Что сделаем, чтобы было удобно пользоваться этим правилом всегда? (Запишем правило в общем виде)

Запишем правило в общем виде.

— Какими средствами будем пользоваться?

Пробуем применить формулу площади прямоугольника…

Средства: модель прямоугольника, алгоритм.

5 этап. Реализация построенного проекта

1) реализовать построенный проект в соответствии с планом;

2) зафиксировать способы записи выражений на эталоне;

3) организовать фиксацию преодоления затруднения;

4) организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Я предлагаю поработать вам в группах. Назовите правила работы в группах.

Правила работы в группах

1. В группе должен быть ответственный.

2. Один говорит, другие слушают.

3. Свое несогласие высказывать вежливо..

4. Работать должны все.

Учащиеся объединяются в группы.

— Выполните план в группах.

Ответственный от каждой группы получает задание.

1. Воспользуюсь моделью прямоугольника, нанесу компоненты уравнения на модель.

2. Применю правило площади прямоугольника. (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)

3. Найду корень уравнения

Мы обозначили на модели прямоугольника числа. Видно, что неизвестна сторона прямоугольника. Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, надо площадь разделить на известную сторону. Выполнили вычисления и нашли корень уравнения, х=5.

— Что осталось сделать по плану? (Записать уравнение в общем виде)

— Как записать уравнение в общем виде? (С помощью букв латинского алфавита)

— Как обозначите в уравнении числа, которые являются сторонами прямоугольника? (Подчеркнем)

— Число, которое является площадью, предлагаю взять в прямоугольник, почему это удобно? (Напоминает о формуле, которой мы пользуемся)

— Нужно ли будет составлять другой эталон для случая, где х стоит на месте другого множителя? (Нет)

— Почему? (Можно воспользоваться переместительным свойством умножения)

— Как проверить свое открытие? Какие ключи к знаниям у нас есть? (Посмотреть в учебнике)

Откройте учебники на стр.1. Прочитайте правило.

Молодцы! Вы помогли колобкам. Слайд (аплодисменты).

Давайте теперь вернемся к пробному действию.

Дописать необходимое на доске.

Смогли вы преодолеть затруднение? (Да). Поставим себе знак + на маршрутном листе.

На обычной доске под шагом “Сам найду способ” прикрепить новые эталоны.

Что вы теперь сможете делать с помощью новых знаний? (Решать уравнения)

6 этап. Первичное закрепление

1) организовать усвоение детьми нового способа действий при решении уравнений на умножение с их проговариванием во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 6:

1) Фронтальная работа. На доске левая часть-алгоритм, правая – уравнение+модель.

2) 4 · х=8; 3 · х=9; х · 4=12.

3) Учитель открывает на доске задание на закрепление. Учащиеся по цепочке выходят к доске и выполняют задание с комментированием. Вариант комментирования:

— Сначала обозначу площадь прямоугольника квадратом, а стороны подчеркну. В данном уравнении неизвестна сторона прямоугольника. Значит, надо площадь прямоугольника разделить на известную сторону. Восемь разделить на 4 будет 2, х равен 2.

Дальнейшее выполнение задания комментируется аналогично.

Физминутка гимнастика для глаз.

Мы немного отдохнём. и на всё ответ найдём.
На носочки встанем, руки вверх потянем.
Руки на пояс, наклоны вперёд.
Теперь попрыгаем, и сядем на места!

Сейчас все отдохнули, и новая забота:

Нужно сделать на “отлично” парную работу.

Учитель раздает карточки с заданием для работы в парах.

Учащиеся выполняют задания в парах с комментированием. Проверка организуется по образцу Д-7.

— Проверьте свои результаты.

Исправьте ошибки. У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с 5-м шагом. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +)

— Какой следующий шаг на уроке? (Проверить себя, справимся ли мы самостоятельно)

7 этап. Самоконтроль с самопроверкой по эталону

1) тренировать способность к самоконтролю и самооценке;

2) проверить умение решать уравнения на умножение.

Организация учебного процесса на этапе 7:

— Выполните данные уравнения самостоятельно. Учащиеся выполняют самостоятельную работу на карточках

— Проверка организуется по эталону Д-8.

— Сделайте вывод. (Нужно еще потренироваться.)

— Сделайте вывод. (Мы все хорошо усвоили.)

— У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с 5-м шагом. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).

8 этап. Включение в систему знаний и повторение

1) включить новое знание в систему знаний;

2) тренировать умение решать задачи.

Организация учебного процесса на этапе 8:

— Что нужно знать, чтобы правильно решать уравнения на умножение? (Таблицу умножения и деления, формулу площади). Предлагаю вам решить задачу №4 стр.2.

Учащиеся выполняют задание. Проверка организуется по образцу Д-9.

— Кто из вас ошибся?

— В чем ошибка? (В выборе правила, в вычислениях, …)

9 этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке

Цели:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить свою работу и работу класса на уроке;

4) наметить направления будущей учебной деятельности;

3) обсудить домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 9:

— Какую цель вы перед собой ставили? (…)

— Достигли ли вы цели? (Докажите)

— Я предлагаю вам оценить свою работу на уроке. Посмотрите еще раз на свои планы урока, посмотрите, сколько у вас плюсов.

— На обычной доске изображение колобков по отдельности. Один улыбается. Те из вас, кто считает, что понял и запомнил новую тему, возьмите восклицательные знаки и прикрепите их рядом с улыбающимся Колобком. Те, кто в чем-то еще не уверен, у кого остались вопросы, кто допустил ошибки в самостоятельной работе – прикрепите вопросительный знак рядом с серьезным Колобком. Вы потренируетесь и обязательно преодолеете свое затруднение.

— Вы сегодня очень хорошо поработали, но значит ли это, что больше не надо тренироваться? (Надо выполнить домашнюю работу)

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Решение уравнений умножением

Неизвестная величина может быть связана с известной величиной не только знаком + или -, но может быть разделена на какую-нибудь величину, как в этом уравнении: $\frac = b$.

Здесь решение не может быть найдено, как в предыдущих примерах, переносом члена уравнения. Но если оба члена уравнения умножить на a, уравнение примет вид
$x = ab.$

То есть, знаменатель дроби в левой части сокращается. Это может быть доказано свойствами дробей.

Когда неизвестная величина разделена на известную величину, уравнение решается путем умножения каждой стороны на эту известную величину.

Те же самые переносы должны быть сделаны в этом случае, как и в предыдущих примерах. Однако надо помнить, что умножать необходимо каждый член уравнения.

Пример 1. Решите уравнение $\frac + a = b + d$
Умножаем обе стороны на $c$
Произведение будет $x + ac = bc + cd$
И $x = bc + cd — ac$.

Пример 1. Решите уравнение $\frac + d = h$
Умножаем на $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
И $x = ag + bh — ad — bd.$

Когда неизвестное значение находится в знаменателе дроби, уравнение решается похожим способом, то есть умножением уравнения на знаменатель.

Пример 3. Решите уравнение $\frac + 7 = 8$
Умножая на $10 — x$ $6 + 70 — 7x = 80 — 8x$
Тогда $x = 4$.

Хотя это и не обязательно , но часто очень удобно избавиться от знаменателя дроби, состоящего только из известных величин. Это можно сделать, похожим способом, когда избавляются от знаменателя, включающего в себя неизвестную величину.

Возьмем для примера $\frac = \frac + \frac $
Умножаем на a $x = \frac + \frac $
Умножаем на b $bx = ad + \frac $
Умножаем на c $bcx = acd + abh$.

Или, мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.

В этом же самом уравнении $\frac = \frac + \frac $
Умножаем члены на abc $\frac = \frac + \frac $

После сокращения каждого одинакового значения в одной дроби, получим $bcx = acd + abh$, как и в предыдущем варианте. Отсюда,

В уравнении можно избавиться от дробей , умножая каждую сторону уравнения на все знаменатели .

При избавлении от дробей в уравнении необходимо соблюдать правильность написания знаков и коэффициентов каждой дроби в процессе раскрытия скобок

Карточка-шпаргалка «Решение уравнений. Как найти неизвестное», умножение и деление, 11х20 см

Характеристики

Описание

Задать вопрос

Оставить отзыв

Общие
Торговая марка Атмосфера праздника
Артикул 1060173
Сертификат Не подлежит сертификации
Страна Россия
Упаковка и фасовка
В боксе 2000 шт
Фасовка по 20 шт
Индивидуальная упаковка Без упаковки
Размер упаковки 0,1 см × 6 см × 13 см
Габариты и вес
Размер 0,1 см × 7 см × 13 см
Вес 3 г
Особенности
Плотность, г/м² 190
Отделка Без отделки
Для кого Унисекс
Тематика праздника Без повода
Адресат Без адресата
Материал Картон
Школьный предмет Математика

Россия входит в десятку самых читающих стран мира! Интерес к чтению у наших соотечественников растёт из года в год, что не может не радовать, ведь это прекрасная и очень полезная привычка.

Изучая различную литературу, вы можете получить очень много ценной информации, расширить кругозор, словарный запас и стать эрудированным. Кроме того, книга - это отличный способ расслабиться и с удовольствием провести время. Пусть Карточка-шпаргалка «Решение уравнений. Как найти неизвестное», умножение и деление, 11х20 см станет очередным полезным изданием в вашей коллекции.

Сима-ленд вправе самостоятельно и без уведомления пользователей отбирать вопросы для публикации. Мы не размещаем вопросы, которые:

не относятся к тематике работы магазина, осуществлению покупок в нём;
содержат ненормативную лексику, высказывания оскорбительного характера;

Мы не публикуем вопросы, в которых содержатся:

ссылки на другие веб-сайты, а также упоминания конкретных продавцов и импортёров товаров;

Сима-ленд оставляет за собой право удалить опубликованный вопрос в любое время, а также самостоятельно определять срок, в течение которого вопросы считаются актуальными и на который они публикуются в рамках сайта Сима-ленд.

Мы не принимаем на себя обязательств сообщать пользователям о причинах отклонения вопросов и удаления ранее опубликованных вопросов.

Если пользователь задаёт вопрос, он соглашается получать уведомления от сайта Сима-ленд о новых ответах на свои вопросы.

Сима-ленд вправе самостоятельно и без уведомления пользователей отбирать отзывы для публикации. Мы не размещаем отзывы, которые:

не относятся к реальному опыту использования данного товара;
не содержат полезной информации для других пользователей;
содержат ссылки на другие веб-сайты.

Мы не публикуем подборки и обзоры товаров, в которых содержатся:

ссылки на другие веб-сайты в тексте подборки и обзора, а также упоминания конкретных продавцов и импортёров товаров;
утверждения, порочащие честь, достоинство и деловую репутацию третьих лиц (в том числе магазинов, производителей и импортёров товаров);
материалы (в том числе в виде текста, видео, графических изображений, кода), нарушающие права третьих лиц, в том числе права на результаты интеллектуальной деятельности и средства индивидуализации.

Сима-ленд оставляет за собой право удалить опубликованный отзыв, подборку и обзор товаров в любое время, а также самостоятельно определять срок, в течение которого отзывы считаются актуальными и на который они публикуются в рамках сайта Сима-ленд.

Мы не принимаем на себя обязательств сообщать пользователям о причинах отклонения публикации и удаления ранее опубликованных отзывов, оценок, подборок и обзоров товаров.

Если пользователь отвечает на отзыв или вопрос к нему, он соглашается получать уведомления от сайта Сима-ленд о новых ответах на свои комментарии.

www.sima-land.ru

Программа летнего оздоровительного лагеря с дневным пребыванием детей Составители: Пилипей О.Н. (1 кв.категория) Мелентьева И.Н. (1 кв. категория) Демидова О.Б. (1 кв. категория) Возраст детей: 5 -15 лет Срок […]
Как в налоговом учете отразить продажу основных средств При продаже основных средств оформите первичные учетные документы, утвержденные постановлением Госкомстата России от 21 января 2003 г. № 7 (ст. 2, 5, […]
Налог на проценты по вкладам: придется платить? Налоги на проценты по вкладам физических лиц в России действуют и сегодня. В каких случаях клиент должен заплатить налоги с процентных доходов по депозитам? С […]

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

Раскрыть скобки, если они есть;
Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
Затем свести подобные
Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

Раскрываем скобки, если они есть.
Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
Приводим подобные слагаемые.
Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

Избавиться от дробей.
Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.
Умение раскрывать скобки.
Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!